Новосибирск — 2010 Содержание работы 1. Кратко изложить основные положения теории замены сфероидического треугольника сферическим при заданных искажениях элементов треугольника с приведением необходимых чертежей и окончательных формул. Описать последовательность решения сферических треугольников с применением теоремы Лежандра и по способу аддитаментов. Решить треугольники своей сети по способу аддитаментов, а затем, используя вычисленные стороны, решить эти же треугольники как линейные с применением теоремы Лежандра. Контрольные вопросы Что такое сфероидический треугольник? При каких размерах сторон сфероидические треугольники можно решить как сферические, если требуется определить элементы треугольника с точностью 1·10 -6? В чем отличие решения сфероидических и сферических треугольников? Что такое аддитамент стороны, и как он вычисляется? Сформулировать теорему Лежандра и привести формулу перехода от угла сфероидического треугольника к плоскому при больших сторонах. Как вычисляется сферический избыток ε при сторонах меньших и больших 90 км? Каковы возможные теоретические пределы изменения ε? Решение сфероидических треугольников Виды геодезических треугольников и условия замены сфероидических треугольников сферическими Треугольники на любой поверхности, образованные геодезическими линиями называются геодезическими. Однако, такое общее название треугольников по виду сторон, образующих их не всегда является удобным. Так, например, на плоскости треугольник, образованный прямыми линиями, есть геодезический, на сфере, образованный дугами больших кругов, так же является геодезическим и т. Гораздо удобнее треугольники, стороны которых есть геодезические линии, называть по принадлежности их к поверхности: на плоскости - плоскиена сфере - сферическиена эллипсоиде - сфероидические. Для образования сфероидического треугольника на поверхности эллипсоида необходимо в каждое непосредственно измеренное горизонтальное направление ввести поправку за переход от азимута нормального сечения к азимуту геодезической линии. Вводить поправки в измеренные стороны не следует, т. Решение сфероидических треугольников представляет собой сложную задачу. Сложность этой проблемы обусловлена переменной кривизной поверхности эллипсоида. Так, если взять два сфероидических треугольника с одинаковыми сторонами, но расположенных под разными широтами поверхности эллипсоида, то соответствующие их углы, в общем случае, равны не. Аналогично не будут равны и стороны треугольников, расположенных под разными широтами, у которых углы и одна исходная сторона соответственно равны. Поэтому, сфероидические треугольники решать без учета изменения кривизны. Однако, в теории математики отсутствует специальный математический аппарат, позволяющий решать треугольники в замкнутом виде на любой поверхности, подобно тому, как это сделано для плоскости и сферы. Причем, очевидно, эти различия будут прямо пропорциональны размерам треугольников: чем меньше длины сторон треугольников, тем меньше их искажения и наоборот. Найдём наибольшие размеры сторон сфероидического треугольника, при которых замена его сферическим будет вызывать ошибки в элементах треугольника, не превышающие наперед заданной величины. Решение этой задачи выполним с использованием отображения части поверхности эллипсоида на шар, радиус которого примем равным среднему радиусу кривизны эллипсоида в некоторой точке О рис. Приняв точку О за полюс системы полярных координат S o и А, отобразим часть поверхности эллипсоида на шар таким образом, чтобы полярные координаты точки Q 1 ' на шаре не изменялись. В геодезии эти величины называют приведенной длиной геодезической линии. Поэтому, для шара, непосредственно из чертежа рис. Дифференцируя выражение 2 по S o последовательно, находим: и т. В этих формулах через "к" обозначена полная кривизна поверхности эллипсоида. Для этого достаточно знать только полную кривизну поверхности и ее производные. Следовательно, 8 Формула 8 позволяет установить размеры области поверхности эллипсоида, ограниченной геодезической окружностью, в пределах которой линейные искажения при отображении ее на сферу не могут превзойти наперед заданных величин. Радиус сферы, при решении таких треугольников, следует принимать равным среднему радиусу кривизны для центра тяжести сфероидического треугольника. Решение сферических треугольников Решение сферических треугольников, с точки зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии. В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать треугольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона триангуляциялибо три стороны триллатерация. Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии. Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными данными. На практике решение треугольников непосредственно по формулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том случае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется в ручную - не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредственно, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Для решения малых сферических треугольников с использованием настольной вычислительной техники разработаны два способа: способ аддитаментов и способ решения сферических треугольников c применением теоремы Лежандра. Способ аддитаментов Суть способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сферического треугольника, измененной на аддитамент исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плоского треугольника стороны поправок аддитаментов. Рассмотрим теоретические основы этого способа. При этом ошибки вычисления сторон не будут превосходить 0. Вер- шина Углы сфериче- ского треуго- льника Уравненные углы Синусы углов Условные сторы S' A S I D B A 81°29'09,117" 45°48'31,438" 52°42'23,540" -1,111" -1,111" -1,111" 81°29'08,006" 45°48'30,327" 52°42'22,429" 0,98897857 0,71701311 0,79553937 22879,562 16587,767 18404,435 0,049 0,019 0,025 Σ ε W 180°00'04,095" 00,762" 03,333" -3,333" 180°00'0,762" II D B С 46°40'25,875" 68°03'27,593" 65°16'06,893" 0,091" 0,091" 0,092" 46°40'25,966" 68°03'27,684" 65°16'06,985" 0,72746003 0,92756057 0,90827908 14740,504 18795,136 18404,435 0,013 0,027 0,025 Σ ε W 180°00'00,361" 0,635" -0,274" 0,274" 180°00'00,635" Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра В 1787 г. Лежандр доказал теорему, которая в последующем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 - 220 км. Достоинством такого решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сторонами, равными соответствующим сторонам сферического треугольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на основании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка. Доказательство теоремы Лежандра Пусть дан сферический треугольник ABD рис. Напишем очевидное соотношение 19 Рис. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости если за первый порядок принять А - А' : 20 И тогда из 19 с учетом 20находим Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями: получаем формула Герона После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем: 21 Можно по аналогии написать формулы для разностей В - В' и D - D' : 22 Суммируя левые и правые части выражений 21 и 22находим для треугольника: 23 С учетом равенства 23формулы 21 и 22 можно представить в следующем виде: 24 которые и выражают теорему Лежандра. Стороны S P-S Углы i' Углы i I D B A 22879,6106 16587,785 18404,461 6056,318 12348,143 10531,467 81°29'07,750" 45°48'30,074" 52°42'22,176" 0,254 0,254 0,254 81°29'08,004" 45°48'30,328" 52°42'22,430" P M ε 28935,928 5217,121 0,762 180°00'00,00" 0,762 180°00'00,762" II D B C 14740,517 18795,163 18404,461 11229,553 7174,907 7565,609 46°40'25,756" 68°03'27,472" 65°16'06,772" 0,211 0,212 0,212 46°40'25,967" 68°03'27,684" 65°16'06,984" P M ε 25970,07 4844,788 0,635 180°00'00,00" 0,635 180°00'00,635".
